Hola. Saludos estudiantes y profesores, acá podemos facilitarles teoría de los puntos relacionados con las funciones de varias variables, entre ellos tenemos la evolución histórica, aplicaciones, Rango y dominio con sus gráficas y videos.
Evolución Histórica de las funciones de varias variables.
El cálculo de varias variables surge de los siglos XVII y XIX junto con otros elementos tales como, el análisis vectorial, la geometría dimensional, análisis armónico, etc...... Fuente Consultada: https://www.clubensayos.com/Ciencia/Historia-Del-Calculo-Varias-Variables/231347.html
Definición Una función f: D ⊂ Rn -> R (x1;x2;….;xn)->(f;x1,x2;…..;xn) €R Se dice que es una función de n variables reales con valores reales. El dominio de f es D ⊂ Rn y su imagen el conjunto {f (x1;x2;….;xn) : (x1,x2;…..;xn) €Rn} ⊂ R. La manera más habitual de describir una función de varias variables es mediante una ecuación. Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de una variable: Funciones de varias variables: (f+g) (x,y) - f(x,y) + g(x,y) Suma o diferencia. (f. g) (x,y) – f(x,y) . g(x,y) Producto. (f/g) (x,y) – (f(x,y))/(g(x,y)) si g(x,y) ≠0 Cociente. Si f (x,y) , g(z) y Rango (f) ⊂ Dom (g). (g o f) (x,y)- g(f(x,y)) Funcion Compuesta. La grafica de una función de dos variables f(x,y) es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) tales que z – f(x,y) para (x,y) € Dom (f). La grafica de f(x,y) es una superficie en el espacio.
Rango y Dominio. Los dominios son conjuntos de pares(o triadas o cuadruplos, etc) ordenados de números reales, y los rangos son conjuntos de números reales del tipo de los que hemos usado. Ejemplo: El Dominio de un polinomio de dos variables es todo el plano R3 y el dominio de un polinomio de tres variables es todo el espacio R3. El Dominio de la fincion f(x,y) = Log(1+x-y) esta formado por los puntos (x,y) del plano tales que 1+ x – y >0; es decir, es un semi plano. El rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio. Fuente Consultada: http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/An_Mat_ESTADISTICA/Apuntes/T6_Funciones_Varias_Variables.pdf http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1324127433_175598365.pdf
Aplicaciones: En las aplicaciones, tenemos a usar letras que nos recuerdan el significado de las variables, para expresar que el volumen de un cilindro circular recto es una función de su radio y altura, podríamos escribir V=f(r,h). Para ser mas específicos, podríamos remplazar la notación f(r,h)por la formula que calcula el valor de V a partir de los valores r y h y escribir V= πr2h en cualquier caso , r y h serian las variables independientes y V la variable dependiente de la función. .Fuente Consultada: http://eltamiz.com/2013/11/07/matematicas-i-variables-expresiones/
Ejercicios propuestos de funciones de varias variables. 1)Hallar el dominio de la función f(x,y)= ln(y-x2)
-> Los siguientes links explican un ejercicio extraído del libro Jorge Sáenz “Calculo Vectorial”. Primera Edición. Ejemplo 4: Esbozar el grafico de la función. F(x,y)=√(36-〖9x〗^2-〖4y〗^2 )
https://youtu.be/mbXnbc-gHW0 https://youtu.be/XHzOzk3UQc8 Loreana Del Moral. 20008453, Reinaldo Oropeza Seccion IF01
Hola aquí les dejamos el contenido de 3 temas: 1. Varias variables, 2. Vector gradiente y Derivadas Direccional, 3. Multiplicadores de Lagrange.
Regla de la Cadena de varias variables:
Se considero la composición de una función de 1 variable con otra función también de1 variable: la composición de x(u) con f(x) es la función F(u) = (f _ x)(u) = f (x(u)), que depende de la variable u 1. Al momento de derivar una función compuesta (siempre que las funciones que se componen sean derivables), podemos utilizar la regla de la cadena: dF = df dx du dx du O, escrito de otra forma:
F”(u) = f0(x(u)) x0(u)
En el contexto de las funciones de varias variables, también podemos hacer composiciones pero ahora las opciones son diversas
Vector Gradiente En cálculo vectorial, el gradiente \nabla f de un campo escalar f es un campo vectorial. El vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del dominio de f, \nabla f(x), indica la dirección en la cual el campo f varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de f en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla \nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante \vec{\nabla} f, o usando la notación \operatorname{grad}(f). La generalización del concepto de gradiente a campos f vectoriales es el concepto de matriz Jacobian Derivada direccional: Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir , con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(Es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario) Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior). Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:
Multiplicadores de Lagrange En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
Determinar los puntos en la esfera que están más cercanos al punto la distancia al punto :
para hacer más sencilla la operación se maximiza o minimiza el cuadrado de la distancia:
la restricción: De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelven las ecuaciones " " y " " y el resultado es: (1) (2) (3) (4) la manera más sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x, y, z en función de y luego sustituimos en la ecuación (4). de la ecuación (1) obtenemos se observa que ≠ 1 por que si no se puede realizar la operación. lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)
sustituyendo en la ecuación (4)
se obtiene que y entonces los puntos (x, y, z) son :
y se puede observar que el punto más cercano entonces es
Y para complementar la información les dejamos unos videos con su link para descargar. //www.youtube.com/watch?v=jYrqnmjuI0g Realizado por: (Yaritza Piñero CI: 25141454) https://www.youtube.com/watch?v=6G5yLM97f9E Realizado por:(Stefany Coronado CI: 23853396) Prof. Reinaldo Oropeza Sección 3IF02
Buenas Noches... Dejo el Link un vídeo acerca de Derivadas Parciales y Limites Iterados
Las Cuales Las Derivadas Parciales son:
Derivada parcial de una función de más de una variable. Recordemos el significado de derivada de una función. La derivada ƒ'(x) de una función de una variable ƒ (x) representa el ritmo de cambio de la función conforme cambia x, Cuando tenemos una función de más de una variable, hemos de decidir cuál de ellas deseamos cambiar para ver cómo se modifica la función. Pero podemos cambiar las variables de infinitas maneras.
Además, cada variable puede cambiar a un ritmo diferente; por ejemplo, una de las variables podría cambiar mucho más rápidamente que la otra Y estos cambios pueden tener efectos diferentes sobre la función. Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes, donde su símbolo es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
Tipos de derivadas parciales: Derivadas de primer orden y Derivadas de segundo orden. Las derivadas de primer orden: Son aquellas en las que las que la función se ha derivado una vez. Las derivadas de segundo orden: Son aquellas en la que la función se ha derivado dos veces.
Ahora bien, Los Limites Iterados son: Limites Parciales o Iterados
Estos límites no deben interpretarse como limites dobles (en donde las variables tendían simultáneamente), sino como su nombre lo indica, limites que se suceden o se iteran.
Saludos.
ResponderEliminarAmigos deben abrir tutorial. y seguir instrucciones para publicar aqui. Exitos!!!
Hola. Saludos estudiantes y profesores, acá podemos facilitarles teoría de los puntos relacionados con las funciones de varias variables, entre ellos tenemos la evolución histórica, aplicaciones, Rango y dominio con sus gráficas y videos.
ResponderEliminarEvolución Histórica de las funciones de varias variables.
El cálculo de varias variables surge de los siglos XVII y XIX junto con otros elementos tales como, el análisis vectorial, la geometría dimensional, análisis armónico, etc......
Fuente Consultada: https://www.clubensayos.com/Ciencia/Historia-Del-Calculo-Varias-Variables/231347.html
Definición
Una función f: D ⊂ Rn -> R
(x1;x2;….;xn)->(f;x1,x2;…..;xn) €R
Se dice que es una función de n variables reales con valores reales. El dominio de f es D ⊂ Rn y su imagen el conjunto {f (x1;x2;….;xn) : (x1,x2;…..;xn) €Rn} ⊂ R.
La manera más habitual de describir una función de varias variables es mediante una ecuación. Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de una variable:
Funciones de varias variables:
(f+g) (x,y) - f(x,y) + g(x,y) Suma o diferencia.
(f. g) (x,y) – f(x,y) . g(x,y) Producto.
(f/g) (x,y) – (f(x,y))/(g(x,y)) si g(x,y) ≠0 Cociente.
Si f (x,y) , g(z) y Rango (f) ⊂ Dom (g).
(g o f) (x,y)- g(f(x,y)) Funcion Compuesta.
La grafica de una función de dos variables f(x,y) es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) tales que z – f(x,y) para (x,y) € Dom (f). La grafica de f(x,y) es una superficie en el espacio.
Rango y Dominio.
Los dominios son conjuntos de pares(o triadas o cuadruplos, etc) ordenados de números reales, y los rangos son conjuntos de números reales del tipo de los que hemos usado.
Ejemplo:
El Dominio de un polinomio de dos variables es todo el plano R3 y el dominio de un polinomio de tres variables es todo el espacio R3.
El Dominio de la fincion f(x,y) = Log(1+x-y) esta formado por los puntos (x,y) del plano tales que 1+ x – y >0; es decir, es un semi plano.
El rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.
Fuente Consultada: http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/An_Mat_ESTADISTICA/Apuntes/T6_Funciones_Varias_Variables.pdf
http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1324127433_175598365.pdf
Aplicaciones:
En las aplicaciones, tenemos a usar letras que nos recuerdan el significado de las variables, para expresar que el volumen de un cilindro circular recto es una función de su radio y altura, podríamos escribir V=f(r,h). Para ser mas específicos, podríamos remplazar la notación f(r,h)por la formula que calcula el valor de V a partir de los valores r y h y escribir V= πr2h en cualquier caso , r y h serian las variables independientes y V la variable dependiente de la función.
.Fuente Consultada: http://eltamiz.com/2013/11/07/matematicas-i-variables-expresiones/
Ejercicios propuestos de funciones de varias variables.
1)Hallar el dominio de la función f(x,y)= ln(y-x2)
-> Los siguientes links explican un ejercicio extraído del libro Jorge Sáenz “Calculo Vectorial”. Primera Edición.
Ejemplo 4: Esbozar el grafico de la función.
F(x,y)=√(36-〖9x〗^2-〖4y〗^2 )
https://youtu.be/mbXnbc-gHW0
https://youtu.be/XHzOzk3UQc8
Loreana Del Moral. 20008453, Reinaldo Oropeza Seccion IF01
Maira Otero 211444810
EliminarFiorella Lopez 21159783
iranny Escalona 25149518
Beatriz Jimenez 24354999
Kelly Lucena 21059232
Seccion:3IF01 Profesor: Reinaldo Oropeza.
exelente video , aca le dejo el video tutorial calculo diferencial :-) : https://www.youtube.com/watch?v=NXAp8N79arY&feature=youtu.be
EliminarMaira Otero 211444810
Fiorella Lopez 21159783
iranny Escalona 25149518
Beatriz Jimenez 24354999
Kelly Lucena 21059232
Seccion:3IF01 Profesor: Reinaldo Oropez
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminarRevista Digital Grupo Número 2 Superficies en R3
ResponderEliminarAcá subimos la revista digital realizada por nuestro equipo, esperamos sea de su agrado. Pueden dejarnos sus opiniones y criticas.
Les dejamos los link para verla en linea al igual si la quieren descargar.
Revista OnLine
http://issuu.com/oscartorresoskr/docs/revista_calculo
(Deben copiar y pegar el link de arriba en el navegador).
Descargar
https://drive.google.com/open?id=0ByOZsKiT-rqQd3hsNXI3WVNfbjg
Al igual les comparto los videos de mi grupo, Loarnis De La Rosa y Sunmerlys Valles
Sunmerlys Valles
https://youtu.be/bdboOrUE2jM
Loarnis De La Rosa
https://youtu.be/aNhzyLPCL1s
Realizado por Loarnis De La Rosa. 20926180 Reinaldo Oropeza Sección 3IF01
Buenos días estudiantes y profesores acá les dejo los link de los vídeos de función de varias variables.
ResponderEliminarvídeo 1
https://youtu.be/Spy5rz2ERMg
video 2
https://youtu.be/cNfsUuyKULA
espero que los vídeos sea beneficioso para todos feliz dia.
Kelly Lucena 21059232 Reinaldo Oropeza Sección 3IF01
Hola aquí les dejamos el contenido de 3 temas:
ResponderEliminar1. Varias variables,
2. Vector gradiente y Derivadas Direccional,
3. Multiplicadores de Lagrange.
Regla de la Cadena de varias variables:
Se considero la composición de una función de 1 variable con otra función también de1 variable: la composición de x(u) con f(x) es la función F(u) = (f _ x)(u) = f (x(u)), que depende de la variable u 1. Al momento de derivar una función compuesta (siempre que las funciones que se componen sean derivables), podemos utilizar la regla de la cadena:
dF = df dx du dx du
O, escrito de otra forma:
F”(u) = f0(x(u)) x0(u)
En el contexto de las funciones de varias variables, también podemos hacer composiciones pero ahora las opciones son diversas
Vector Gradiente
En cálculo vectorial, el gradiente \nabla f de un campo escalar f es un campo vectorial. El vector gradiente de f evaluado en un punto genérico x del dominio de f, \nabla f(x), indica la dirección en la cual el campo f varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de f en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla \nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante \vec{\nabla} f, o usando la notación \operatorname{grad}(f). La generalización del concepto de gradiente a campos f vectoriales es el concepto de matriz Jacobian
Derivada direccional:
Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir , con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(Es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).
Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:
//www.youtube.com/watch?v=jYrqnmjuI0g
EliminarRealizado por: (Yaritza Piñero CI: 25141454)
https://www.youtube.com/watch?v=6G5yLM97f9E
Realizado por:(Stefany Coronado CI: 23853396)
Prof. Reinaldo Oropeza Sección 3IF02
Multiplicadores de Lagrange
ResponderEliminarEn los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
Determinar los puntos en la esfera que están más cercanos al punto
la distancia al punto :
para hacer más sencilla la operación se maximiza o minimiza el cuadrado de la distancia:
la restricción:
De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelven las ecuaciones " " y " " y el resultado es:
(1)
(2)
(3)
(4)
la manera más sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x, y, z en función de y luego sustituimos en la ecuación (4).
de la ecuación (1) obtenemos se observa que ≠ 1 por que si no se puede realizar la operación.
lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)
sustituyendo en la ecuación (4)
se obtiene que
y entonces los puntos (x, y, z) son :
y
se puede observar que el punto más cercano entonces es
Y para complementar la información les dejamos unos videos con su link para descargar.
//www.youtube.com/watch?v=jYrqnmjuI0g
Realizado por: (Yaritza Piñero CI: 25141454)
https://www.youtube.com/watch?v=6G5yLM97f9E
Realizado por:(Stefany Coronado CI: 23853396)
Prof. Reinaldo Oropeza Sección 3IF02
https://youtu.be/skLW76aETys
Eliminarhttps://youtu.be/MwVWxjb163U realizado stefany coronado 23852396
Buenas Noches...
ResponderEliminarDejo el Link un vídeo acerca de Derivadas Parciales y Limites Iterados
Las Cuales Las Derivadas Parciales son:
Derivada parcial de una función de más de una variable. Recordemos el significado de derivada de una función. La derivada ƒ'(x) de una función de una variable ƒ (x) representa el ritmo de cambio de la función conforme cambia x, Cuando tenemos una función de más de una variable, hemos de decidir cuál de ellas deseamos cambiar para ver cómo se modifica la función. Pero podemos cambiar las variables de infinitas maneras.
Además, cada variable puede cambiar a un ritmo diferente; por ejemplo, una de las variables podría cambiar mucho más rápidamente que la otra Y estos cambios pueden tener efectos diferentes sobre la función.
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes, donde su símbolo es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
Tipos de derivadas parciales: Derivadas de primer orden y Derivadas de segundo orden.
Las derivadas de primer orden: Son aquellas en las que las que la función se ha derivado una vez.
Las derivadas de segundo orden: Son aquellas en la que la función se ha derivado dos veces.
Ahora bien, Los Limites Iterados son:
Limites Parciales o Iterados
Estos límites no deben interpretarse como limites dobles (en donde las variables tendían simultáneamente), sino como su nombre lo indica, limites que se suceden o se iteran.
Viendo el Video podran entender mejor.
https://www.youtube.com/watch?v=6YsB2-hqOwU&feature=youtu.be
Participante:
José Marrufo
Rosiher Medina
Javier Ramirez
Neidys Sanchez
Profesor Reinaldo Oropeza